Số thực là gì? Bao gồm những số nào? Các dạng toán số thực?

Số thực là những khái niệm toán học cơ bản và phổ biến. Vậy số thực là gì? Số thực là gì? Ký hiệu số thực và ví dụ thực tế? Trong bài viết hôm nay Fresh Lemon Review sẽ trình bày thông tin chi tiết về khái niệm này. Hãy cùng theo dõi nhé!

Tìm hiểu số thực là gì và cho ví dụ

Thông tin dưới đây về số thực là gì, đặc điểm và ví dụ của chúng sẽ giúp bạn hiểu chi tiết về khái niệm toán học này!

Georg Cantor người đưa ra định nghĩa về số thực

Số thực là gì?

Khái niệm số thực bắt nguồn từ thế kỷ 17, khi nhà toán học người Pháp Rene Descartes đưa ra khái niệm đầu tiên nhằm phân biệt giá trị nghiệm thực và ảo của đa thức. Mặc dù ông đã đưa ra khái niệm này nhưng phải đến năm 1871, một nhà toán học khác là Georg Cantor mới công bố khái niệm chính xác nhất về số thực. Cho đến ngày nay, chúng ta vẫn sử dụng khái niệm số thực này.

Số thực là một loại số được xác định dựa trên các thuộc tính riêng của nó và tập hợp số thực được hình thành từ sự kết hợp giữa tập hợp số vô tỷ và tập hợp số hữu tỷ. Tập số thực có thể là đại số hoặc siêu việt và tập hợp số thực tương phản với tập hợp số phức. Mặc dù không có định nghĩa chính thức nhưng số thực thường được mô tả theo nhiều cách khác nhau và bao gồm số dương, số 0 và số âm.

Trong toán học, số thực là giá trị của một đại lượng liên tục và được biểu thị bằng một khoảng trên trục số thực. Khái niệm này được Rene Descartes đưa ra vào thế kỷ 17 để phân biệt giữa nghiệm thực và nghiệm ảo của đa thức.

Số thực trong tiếng Anh Số thực là tập hợp bao gồm các số dương (1,2,3), 0, số âm (-1,-2,-3), số hữu tỉ (5/2, -23/ 45) , số vô tỷ (pi, số √ 2).

Số thực tượng trưng là gì?

Tập hợp số thực được ký hiệu là R.

Số thực là gì? Ví dụ về số thực?

Tập hợp số thực R bao gồm số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỷ và số vô tỷ. Vì vậy, nó được coi là tập hợp số lớn nhất.

Tất cả các số thực, ngoại trừ số 0 ở giữa trục số, đều có thể dương hoặc âm. Tính chất này đặc trưng cho tính phân tập của tập số thực. Mặc dù tập hợp này là vô hạn nhưng vì quy mô của nó rất lớn nên số lượng số thực trong tập hợp này là không thể đếm được.

Tóm lại, tập số thực R sẽ gồm:

• Tập hợp số tự nhiên (ký hiệu là N): N = {0, 1, 2, 3,…}
• Tập hợp các số nguyên (ký hiệu là Z): Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…}
• Tập hợp số hữu tỉ (ký hiệu là Q): Q = {x = a/b; với điều kiện là các số a,b ϵ Z và b ≠0}
• Tập hợp số vô tỷ (ký hiệu là I): I ={số thập phân vô hạn không tuần hoàn, ví dụ pi, các số căn như √2, √3,…}

Dòng số thực là gì?

Mọi số thực đều có thể biểu diễn bằng một điểm trên trục số. Ngược lại, mỗi điểm trên trục số biểu thị một số thực. Chỉ có tập số thực R mới điền được số trực tiếp.

Trục số thực trên trục số

Lưu ý rằng các phép toán trên tập hợp số thực có cùng tính chất với các phép tính trên tập hợp số hữu tỷ. Điều này được thể hiện thông qua sự kết nối giữa các tập hợp số nguyên (Z), số hữu tỷ (Q) và số thực (R), trong đó ta có Z ⊂ Q ⊂ R.

Tập hợp số thực đóng vai trò là đối trọng của tập hợp số phức, bao gồm cả các số ảo không thể biểu diễn trên trục số. Trong lĩnh vực này, số phức được gọi là số ảo và thường xuất hiện trong nhiều phương trình, bài toán không thể giải được trong trường số phức. Ví dụ: trong phương trình (x + 1) = -9 hoặc trong phép tính √-1 (căn bậc hai của -1 và các số âm khác).

Phân loại số thực

Số thực được phân thành hai loại chính: số thực dương và số thực âm.

• Số thực dương là tập hợp các số lớn hơn 0 (0). Nói cách khác, đây là những số mà khi đặt trên trục số sẽ nằm bên phải số 0. Ví dụ: các số 2, 3, 10/3, 100,… đều thuộc tập hợp số thực dương , vì chúng đều nằm ở bên phải số 0 trên trục số.
• Ngược lại, số thực âm là tập hợp các số nhỏ hơn 0. Trên trục số các số này nằm về bên trái số 0. Ví dụ: -2, -3, -10/3, -100,… đều là số thực âm vì chúng đều nằm bên trái số 0 trên trục số.
• Số thực có số 0 không? Có, 0 cũng là số thực ( 0 ⊂ N là số tự nhiên).

Các tính chất cơ bản của số thực

Số thực R có những tính chất gì?

• Bất kỳ số thực nào khác 0 đều có thể dương hoặc âm. Khi cộng hoặc nhân hai số thực không âm, kết quả là một số thực không âm, tạo thành một vành các số dương. Điều này giúp xác định thứ tự tuyến tính của các số thực trên trục số.
• Tập hợp số thực là vô hạn, có nhiều phần tử hơn bất kỳ tập hợp đếm được nào.
• Số thực thường được biểu diễn dưới dạng biểu thức thập phân, với chuỗi vô hạn các chữ số sau dấu thập phân (ví dụ: 324.832122147…). Dấu chấm lửng đại diện cho vô số chữ số.
• Mỗi điểm trên trục số thực được bao phủ bởi một dãy số thực, cho phép theo dõi tính liên tục của chúng. Quy luật tích phân từ dãy số thực thường được áp dụng trong toán học và thực tế.
• Việc sắp xếp theo thứ tự các số thực cho phép chúng được so sánh và xếp hạng dựa trên yêu cầu học tập hoặc công việc. Điều này rất quan trọng để xây dựng hệ thống đo lường và chuẩn hóa các đơn vị số.
• Phép cộng và phép nhân các số thực tuân theo tính kết hợp tổng quát. Điều này có nghĩa là phép cộng và phép nhân áp dụng cho số thực sẽ tạo ra các hệ số.
• Khi sử dụng số thực trong phép chia và lũy thừa, điều quan trọng cần lưu ý là các tính chất của phép chia (trừ khi chia cho 0) và các tính chất của lũy thừa, bao gồm cả các quy tắc cộng, nhân.

Tính chất của số thực

Số thực được xác định bởi hai tính chất cơ bản quan trọng:

• Thuộc tính giới hạn trên thấp nhất: Thuộc tính này cho biết nếu tập hợp các số thực không trống có giới hạn trên thì tập hợp này sẽ có giá trị giới hạn trên thấp nhất, tức là số thực nhỏ nhất trong tập hợp đó. Ví dụ: nếu chúng ta xem xét tập hợp {1, 2, 3} thì giới hạn trên của nó là 3 và do đó giới hạn trên thấp nhất của nó là 3.
• Thuộc tính trường có thứ tự: Thuộc tính này mô tả khả năng sắp xếp các số thực trên trục số ngang sao cho thứ tự này tương thích với phép cộng và phép nhân. Nếu x và y là hai số thực bất kỳ thì xy luôn có thể xác định được. Điều này có nghĩa là các số thực tạo thành một trường có thứ tự, trong đó phép cộng, trừ, nhân và chia đều được thực hiện theo cách tương thích với thứ tự này.

Một số tính chất khác của số thực R:

• Trên số thực, cả phép cộng và phép nhân đều được kết hợp, bất kể các số được nhóm như thế nào. Phép nhân cũng phân phối trên phép cộng theo a * (b + c) = a * b + a * c.
• Trên số thực, mọi cặp số đều có thể so sánh được và dãy số thực liên tục có một giới hạn nhất định, tiến gần đến độ chính xác mà chúng ta chọn.
• Số thực được chia thành số rời rạc và số liên tục. Số rời rạc có phạm vi số giới hạn, số liên tục không có phạm vi giới hạn, cung cấp các ứng dụng và tiêu chuẩn khác nhau.

Các dạng bài tập thông dụng về số thực và hướng dẫn cách giải

Tập số thực R

Loại 1: Câu hỏi về tổ hợp số

Hướng dẫn giải: Lưu ý các ký hiệu của tập hợp số:

• N: Tập hợp số tự nhiên
• Z: Tập hợp số nguyên
• H: Tập hợp số hữu tỉ
• I: là tập hợp các số vô tỷ
• R: là tập hợp số thực.

Ta có mối quan hệ sau đây giữa các bộ số: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R; Tôi ⊂ R.

Dạng 2: là tìm số chưa biết trong phương trình

Hướng dẫn giải pháp:

• Sử dụng thuộc tính của hoạt động
• Sử dụng mối quan hệ giữa các số hạng trong một tổng và một hiệu. Mối quan hệ giữa các yếu tố trong một sản phẩm, mối quan hệ giữa số bị chia, số chia và thương của phép chia.
• Sử dụng các quy tắc chuyển mệnh đề và ngắt dấu ngoặc đơn.

Dạng 3: Tính giá trị của một biểu thức nào đó

Hướng dẫn giải pháp:

• Thực hiện các phép cộng, trừ, nhân, chia và lũy thừa. Tuy nhiên, bạn cần chú ý đến thứ tự thực hiện.
• Giảm phân số khi cần thiết
• Chú ý vận dụng tính chất của các phép toán một cách hợp lý.

Mẫu 4: So sánh số thực

Hướng dẫn giải pháp:

Để giải quyết vấn đề này, chúng ta cần tuân thủ các nguyên tắc sau:

• Với hai số thực x và y bất kỳ, ta có ba trường hợp: x = y, x y.
• Số thực lớn hơn 0 gọi là số thực dương, ngược lại số thực nhỏ hơn 0 gọi là số thực âm.
• Số 0 không phải là số thực dương và cũng không phải là số thực âm.
• So sánh số thực dương cũng giống như so sánh số hữu tỷ.
• Với hai số thực dương a và b, nếu a > b thì √a > √b.

Những nguyên tắc này sẽ hỗ trợ giải các bài toán và xử lý các phép so sánh liên quan đến số thực và căn bậc hai của chúng.

Ví dụ: Cho các số thực sau: -11; 3, -1,5; 6; 6,5 . Hãy sắp xếp các số thực này theo thứ tự từ lớn đến bé.

Hướng dẫn giải: Sắp xếp các số thực trên theo thứ tự từ lớn đến nhỏ: 6,5 > 6 > 3 > -1,5 > -10.

Câu hỏi thường gặp

1. Số thực dương là gì?

Số thực dương là số thực lớn hơn 0 (nằm bên phải số 0 trên trục số).

2. Số nguyên là gì?

• Trong Toán học, số nguyên bao gồm tập hợp các số 0, số tự nhiên (số nguyên dương) và số đối của chúng (số nguyên âm).
• Tập hợp các số nguyên là vô hạn và đếm được. Ký hiệu của tập hợp số nguyên là Z.

3. Số nguyên là gì?

Số nguyên được chia thành hai loại: số nguyên dương và số nguyên âm. Trong đó:

• Số nguyên dương: là số nguyên lớn hơn 0 và được ký hiệu là Z+.
• Số nguyên âm: là số nguyên nhỏ hơn 0 và được ký hiệu là Z-.
• Tập hợp số nguyên dương hoặc âm ở trên không bao gồm số 0.

>>> Xem thêm: Hướng dẫn giải phương trình bậc hai

Hy vọng những thông tin trước đây đã giúp bạn hiểu rõ số thực là gì cũng như các tính chất, thuộc tính của chúng!